今天,我们来讲树这种数据结构的一种特殊应用,递归树。

我们都知道,递归代码的时间复杂度分析起来很麻烦。我们在第12节《排序(下)》那里讲过,如何利用递推公式,求解归并排序、快速排序的时间复杂度,但是,有些情况,比如快排的平均时间复杂度的分析,用递推公式的话,会涉及非常复杂的数学推导。

除了用递推公式这种比较复杂的分析方法,有没有更简单的方法呢?今天,我们就来学习另外一种方法,借助递归树来分析递归算法的时间复杂度

# 递归树与时间复杂度分析

我们前面讲过,递归的思想就是,将大问题分解为小问题来求解,然后再将小问题分解为小小问题。这样一层一层地分解,直到问题的数据规模被分解得足够小,不用继续递归分解为止。

如果我们把这个一层一层的分解过程画成图,它其实就是一棵树。我们给这棵树起一个名字,叫作递归树。我这里画了一棵斐波那契数列的递归树,你可以看看。节点里的数字表示数据的规模,一个节点的求解可以分解为左右子节点两个问题的求解。

通过这个例子,你对递归树的样子应该有个感性的认识了,看起来并不复杂。现在,我们就来看,如何用递归树来求解时间复杂度

归并排序算法你还记得吧?它的递归实现代码非常简洁。现在我们就借助归并排序来看看,如何用递归树,来分析递归代码的时间复杂度。

归并排序的原理我就不详细介绍了,如果你忘记了,可以回看一下第12节的内容。归并排序每次会将数据规模一分为二。我们把归并排序画成递归树,就是下面这个样子:

因为每次分解都是一分为二,所以代价很低,我们把时间上的消耗记作常量$1$。归并算法中比较耗时的是归并操作,也就是把两个子数组合并为大数组。从图中我们可以看出,每一层归并操作消耗的时间总和是一样的,跟要排序的数据规模有关。我们把每一层归并操作消耗的时间记作$n$。

现在,我们只需要知道这棵树的高度$h$,用高度$h$乘以每一层的时间消耗$n$,就可以得到总的时间复杂度$O(n*h)$。

从归并排序的原理和递归树,可以看出来,归并排序递归树是一棵满二叉树。我们前两节中讲到,满二叉树的高度大约是$\log_{2}n$,所以,归并排序递归实现的时间复杂度就是$O(n\log n)$。我这里的时间复杂度都是估算的,对树的高度的计算也没有那么精确,但是这并不影响复杂度的计算结果。

利用递归树的时间复杂度分析方法并不难理解,关键还是在实战,所以,接下来我会通过三个实际的递归算法,带你实战一下递归的复杂度分析。学完这节课之后,你应该能真正掌握递归代码的复杂度分析。

# 实战一:分析快速排序的时间复杂度

在用递归树推导之前,我们先来回忆一下用递推公式的分析方法。你可以回想一下,当时,我们为什么说用递推公式来求解平均时间复杂度非常复杂?

快速排序在最好情况下,每次分区都能一分为二,这个时候用递推公式$T(n)=2T(\frac{n}{2})+n$,很容易就能推导出时间复杂度是$O(n\log n)$。但是,我们并不可能每次分区都这么幸运,正好一分为二。

我们假设平均情况下,每次分区之后,两个分区的大小比例为$1:k$。当$k=9$时,如果用递推公式的方法来求解时间复杂度的话,递推公式就写成$T(n)=T(\frac{n}{10})+T(\frac{9n}{10})+n$。

这个公式可以推导出时间复杂度,但是推导过程非常复杂。那我们来看看,用递归树来分析快速排序的平均情况时间复杂度,是不是比较简单呢?

我们还是取$k$等于$9$,也就是说,每次分区都很不平均,一个分区是另一个分区的$9$倍。如果我们把递归分解的过程画成递归树,就是下面这个样子:

快速排序的过程中,每次分区都要遍历待分区区间的所有数据,所以,每一层分区操作所遍历的数据的个数之和就是$n$。我们现在只要求出递归树的高度$h$,这个快排过程遍历的数据个数就是 $h * n$ ,也就是说,时间复杂度就是$O(h * n)$。

因为每次分区并不是均匀地一分为二,所以递归树并不是满二叉树。这样一个递归树的高度是多少呢?

我们知道,快速排序结束的条件就是待排序的小区间,大小为$1$,也就是说叶子节点里的数据规模是$1$。从根节点$n$到叶子节点$1$,递归树中最短的一个路径每次都乘以$\frac{1}{10}$,最长的一个路径每次都乘以$\frac{9}{10}$。通过计算,我们可以得到,从根节点到叶子节点的最短路径是$\log_{10}n$,最长的路径是$\log_{\frac{10}{9}}n$。

所以,遍历数据的个数总和就介于$n\log_{10}n$和$n\log_{\frac{10}{9}}n$之间。根据复杂度的大O表示法,对数复杂度的底数不管是多少,我们统一写成$\log n$,所以,当分区大小比例是$1:9$时,快速排序的时间复杂度仍然是$O(n\log n)$。

刚刚我们假设$k=9$,那如果$k=99$,也就是说,每次分区极其不平均,两个区间大小是$1:99$,这个时候的时间复杂度是多少呢?

我们可以类比上面$k=9$的分析过程。当$k=99$的时候,树的最短路径就是$\log_{100}n$,最长路径是$\log_{\frac{100}{99}}n$,所以总遍历数据个数介于$n\log_{100}n$和$n\log_{\frac{100}{99}}n$之间。尽管底数变了,但是时间复杂度也仍然是$O(n\log n)$。

也就是说,对于$k$等于$9$,$99$,甚至是$999$,$9999$……,只要$k$的值不随$n$变化,是一个事先确定的常量,那快排的时间复杂度就是$O(n\log n)$。所以,从概率论的角度来说,快排的平均时间复杂度就是$O(n\log n)$。

# 实战二:分析斐波那契数列的时间复杂度

在递归那一节中,我们举了一个跨台阶的例子,你还记得吗?那个例子实际上就是一个斐波那契数列。为了方便你回忆,我把它的代码实现贴在这里。

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

这样一段代码的时间复杂度是多少呢?你可以先试着分析一下,然后再来看,我是怎么利用递归树来分析的。

我们先把上面的递归代码画成递归树,就是下面这个样子:

这棵递归树的高度是多少呢?

$f(n)$分解为$f(n-1)$和$f(n-2)$,每次数据规模都是$-1$或者$-2$,叶子节点的数据规模是$1$或者$2$。所以,从根节点走到叶子节点,每条路径是长短不一的。如果每次都是$-1$,那最长路径大约就是$n$;如果每次都是$-2$,那最短路径大约就是$\frac{n}{2}$。

每次分解之后的合并操作只需要一次加法运算,我们把这次加法运算的时间消耗记作$1$。所以,从上往下,第一层的总时间消耗是$1$,第二层的总时间消耗是$2$,第三层的总时间消耗就是$2^{2}$。依次类推,第$k$层的时间消耗就是$2^{k-1}$,那整个算法的总的时间消耗就是每一层时间消耗之和。

如果路径长度都为$n$,那这个总和就是$2^{n}-1$。

如果路径长度都是$\frac{n}{2}$ ,那整个算法的总的时间消耗就是$2^{\frac{n}{2}}-1$。

所以,这个算法的时间复杂度就介于$O(2^{n})$和$O(2^{\frac{n}{2}})$之间。虽然这样得到的结果还不够精确,只是一个范围,但是我们也基本上知道了上面算法的时间复杂度是指数级的,非常高。

# 实战三:分析全排列的时间复杂度

前面两个复杂度分析都比较简单,我们再来看个稍微复杂的。

我们在高中的时候都学过排列组合。“如何把$n$个数据的所有排列都找出来”,这就是全排列的问题。

我来举个例子。比如,$1, 2,3$这样$3$个数据,有下面这几种不同的排列:

1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1

如何编程打印一组数据的所有排列呢?这里就可以用递归来实现。

如果我们确定了最后一位数据,那就变成了求解剩下$n-1$个数据的排列问题。而最后一位数据可以是$n$个数据中的任意一个,因此它的取值就有$n$种情况。所以,“$n$个数据的排列”问题,就可以分解成$n$个“$n-1$个数据的排列”的子问题。

如果我们把它写成递推公式,就是下面这个样子:

假设数组中存储的是1,2, 3...n。
        
f(1,2,...n) = {最后一位是1, f(n-1)} + {最后一位是2, f(n-1)} +...+{最后一位是n, f(n-1)}。

如果我们把递推公式改写成代码,就是下面这个样子:

// 调用方式:
// int[]a = a={1, 2, 3, 4}; printPermutations(a, 4, 4);
// k表示要处理的子数组的数据个数
public void printPermutations(int[] data, int n, int k) {
  if (k == 1) {
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
      System.out.print(data[i] + " ");
    }
    System.out.println();
  }

  for (int i = 0; i < k; ++i) {
    int tmp = data[i];
    data[i] = data[k-1];
    data[k-1] = tmp;

    printPermutations(data, n, k - 1);

    tmp = data[i];
    data[i] = data[k-1];
    data[k-1] = tmp;
  }
}

如果不用我前面讲的递归树分析方法,这个递归代码的时间复杂度会比较难分析。现在,我们来看下,如何借助递归树,轻松分析出这个代码的时间复杂度。

首先,我们还是画出递归树。不过,现在的递归树已经不是标准的二叉树了。

第一层分解有$n$次交换操作,第二层有$n$个节点,每个节点分解需要$n-1$次交换,所以第二层总的交换次数是$n*(n-1)$。第三层有$n*(n-1)$个节点,每个节点分解需要$n-2$次交换,所以第三层总的交换次数是$n*(n-1)*(n-2)$。

以此类推,第$k$层总的交换次数就是$n * (n-1) * (n-2) * … * (n-k+1)$。最后一层的交换次数就是$n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1$。每一层的交换次数之和就是总的交换次数。

n + n*(n-1) + n*(n-1)*(n-2) +... + n*(n-1)*(n-2)*...*2*1

这个公式的求和比较复杂,我们看最后一个数,$n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1$等于$n!$,而前面的$n-1$个数都小于最后一个数,所以,总和肯定小于$n * n!$,也就是说,全排列的递归算法的时间复杂度大于$O(n!)$,小于$O(n * n!)$,虽然我们没法知道非常精确的时间复杂度,但是这样一个范围已经让我们知道,全排列的时间复杂度是非常高的。

这里我稍微说下,掌握分析的方法很重要,思路是重点,不要纠结于精确的时间复杂度到底是多少。

# 内容小结

今天,我们用递归树分析了递归代码的时间复杂度。加上我们在排序那一节讲到的递推公式的时间复杂度分析方法,我们现在已经学习了两种递归代码的时间复杂度分析方法了。

有些代码比较适合用递推公式来分析,比如归并排序的时间复杂度、快速排序的最好情况时间复杂度;有些比较适合采用递归树来分析,比如快速排序的平均时间复杂度。而有些可能两个都不怎么适合使用,比如二叉树的递归前中后序遍历。

时间复杂度分析的理论知识并不多,也不复杂,掌握起来也不难,但是,在我们平时的工作、学习中,面对的代码千差万别,能够灵活应用学到的复杂度分析方法,来分析现有的代码,并不是件简单的事情,所以,你平时要多实战、多分析,只有这样,面对任何代码的时间复杂度分析,你才能做到游刃有余、毫不畏惧。

# 课后思考

$1$个细胞的生命周期是$3$小时,$1$小时分裂一次。求$n$小时后,容器内有多少细胞?请你用已经学过的递归时间复杂度的分析方法,分析一下这个递归问题的时间复杂度。

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